Libro esatto aritmetica 1 soluzioni

Esempio di soluzione esatta

L’aritmetica in virgola mobile è considerata da molti un argomento esoterico. Questo è piuttosto sorprendente, perché il floating-point è onnipresente nei sistemi informatici. Quasi tutti i linguaggi hanno un tipo di dato in virgola mobile; i computer, dai PC ai supercomputer, hanno acceleratori in virgola mobile; la maggior parte dei compilatori è chiamata a compilare algoritmi in virgola mobile di tanto in tanto; e praticamente ogni sistema operativo deve rispondere a eccezioni in virgola mobile come l’overflow. Questo documento presenta un tutorial sugli aspetti del floating-point che hanno un impatto diretto sui progettisti di sistemi informatici. Inizia con una panoramica sulla rappresentazione in virgola mobile e sull’errore di arrotondamento, prosegue con una discussione dello standard IEEE in virgola mobile e si conclude con numerosi esempi di come i costruttori di computer possono supportare meglio la virgola mobile.

Categorie e descrittori di soggetto: (Primario) C.0 [Organizzazione dei sistemi informatici]: Generale — progettazione del set di istruzioni; D.3.4 [Linguaggi di programmazione]: Processori — compilatori, ottimizzazione; G.1.0 [Analisi numerica]: Generale — aritmetica dei computer, analisi degli errori, algoritmi numerici (Secondario)

Soluzione a forma aperta

IntroduzioneEcco un problema semplice: immaginate un recinto circolare che racchiude un acro di erba. Se si lega una capra all’interno del recinto, di quanta corda si ha bisogno per permettere all’animale di accedere esattamente a mezzo acro?

Sembra geometria da scuola superiore, ma i matematici e gli appassionati di matematica si sono interrogati su questo problema in varie forme per più di 270 anni. E mentre hanno risolto con successo alcune versioni, il rompicapo della capra in cerchio si è rifiutato di dare solo risposte confuse e incomplete.

Anche dopo tutto questo tempo, “nessuno conosce una risposta esatta al problema originale”, afferma Mark Meyerson, matematico emerito dell’Accademia Navale degli Stati Uniti. “La soluzione è data solo in modo approssimativo”.

Ma all’inizio di quest’anno, un matematico tedesco di nome Ingo Ullisch ha finalmente fatto dei progressi, trovando quella che è considerata la prima soluzione esatta al problema – sebbene anche questa si presenti in una forma ingombrante e poco accessibile ai lettori.

Naturalmente, Ullisch ammette che questa soluzione non sconvolgerà i libri di testo né rivoluzionerà la ricerca matematica, perché si tratta di un problema isolato. “Non è collegato ad altri problemi o inserito in una teoria matematica”. Ma è possibile che anche rompicapi divertenti come questo diano origine a nuove idee matematiche e aiutino i ricercatori a trovare nuovi approcci ad altri problemi.

Soluzione in forma chiusa

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Soluzione esatta di pde

Le soluzioni numeriche sono estremamente abbondanti. Il motivo principale è che a volte non si dispone di un approccio analitico (si cerca di risolvere $x^6-4x^5+\sin (x)-e^x+7-\frac{1}{x} =0$) o che la soluzione analitica è troppo lenta e invece di calcolare per 15 ore e ottenere una soluzione esatta, si preferisce calcolare per 15 secondi e ottenere una buona approssimazione.

Queste distinzioni, tuttavia, possono variare. Ci sono sempre più teoremi ed equazioni che possono essere risolti solo con il computer; tuttavia, il computer non fa alcuna approssimazione, ma semplicemente è in grado di fare più passaggi di quanti un essere umano possa mai sperare di fare senza errori. Questo è il regno del “calcolo simbolico” e del suo cugino, la “dimostrazione automatica di teoremi”. La validità di queste soluzioni è oggetto di un dibattito sostanziale: verificarle è difficile e non si può sempre essere certi che il codice sorgente sia privo di errori. Alcuni sostengono che le prove assistite da computer non dovrebbero essere accettate.

Tuttavia, il calcolo simbolico è diverso dal calcolo numerico. Nel calcolo numerico, specifichiamo un problema e poi gli ficchiamo in gola dei numeri in un ordine ben definito e accuratamente costruito. Se siamo molto attenti al modo in cui infiliamo i numeri nella gola del problema, possiamo garantire che il risultato sia solo un po’ impreciso, e di solito abbastanza vicino per qualsiasi scopo ci serva.